L’algebra degli eventi

La coppia (Ω, B_Ω) viene definita spazio probabilizzabile, in cui Ω = spazio campionario e B_Ω = insieme di un numero finito di n elementi da ω₁ a ω_n. B_Ω è una Algebra di Boole, cioè una classe che possiede le seguenti proprietà:

Ω € B_Ω

A € B_Ω => Ā € B_Ω

A₁, A₂, …, A_n € B_Ω => Uⁿ_i=1 A_i € B_Ω

Inoltre per la legge di De Morgan segue che: ∩ⁿ_i=1 A_i € B_Ω

Una estensione

Sia Ω un insieme infinito e numerabile, valgono le stesse proprietà di cui sopra, ma con n = ∞.

Una generalizzazione

Sia Ω un insieme infinito e non numerabile. È necessario restringere il campo con al più un’infinità numerabile di operazioni, ottenendo la classe di Borel, formata dalla famiglia monotona delle semirette:

R(x) = (-∞,x] con x € R

Ad ogni semiretta corrisponde, come controimmagine, l’elemento R^–1(x) € B_Ω

Il concetto di misura finita

Una misura finita m è caratterizzata dalle seguenti proprietà:

1)       È una funzione definita su un’algebra (σ-algebra) di insieme B_Ω

2)       “A Ì B_Ω => m(A) Ì R [0, ∞)

3)       m(0) = 0

4)       m (Ω) < a < ∞

5)       è completamente additiva. Ciò si verifica se, data una sequenza di eventi disgiunti A_i, m(Uⁿ_i=1A_i) = ∑^∞_i=1m(A_i)

m(A|Ω) si definisce misura normalizzata di A su Ω.