La funzione prezzo-rendimento

Già classificando i titoli obbligazionari, abbiamo potuto osservare che esiste una relazione dinamica tra il prezzo e il rendimento di questi titoli, che viene confermata dal fatto che il TRES è un tasso di attualizzazione. La prima considerazione che possiamo fare è che, quando sale il TRES, il prezzo del titolo scende (ovviamente, se consideriamo una cedola fissa): R­ —> P¯.

Dobbiamo però vedere quanto varia il prezzo, e se ci sono caratteristiche del titolo che permettano di prevedere una maggiore variazione del prezzo. Per farlo, andiamo a confrontare titoli che divergono, di volta in volta, per una sola variabile.

Confrontiamo due titoli che divergono solo per la cedola: CED A > CED B. Se aumentano i tassi di rendimento richiesti dal mercato, ovviamente scenderanno i prezzi di entrambi i titoli, ma la variazione nel prezzo dei due titoli non sarà identica. In particolare, la diminuzione nel prezzo del titolo A risulta inferiore rispetto alla diminuzione nel prezzo del titolo B. Ciò significa che, più è alta la cedola, più bassa sarà la sensibilità del prezzo del titolo alla variazione dei tassi di interesse, ossia il titolo, a parità di altre condizioni, sarà meno rischioso. Il rischio di interesse, quindi, è funzione inversa della cedola.

CED A > CED B

DR+ D-PA ¹ D-PB

D-PA < D-PB

Rischio di interesse (-) cedola

Confrontiamo ora due titoli che paghino la stessa cedola ma secondo una sequenza temporale diversa: CED A è pagata semestralmente, CED B è pagata annualmente. Nuovamente, quando aumentano i tassi di interesse, scenderanno i prezzi di entrambi i titoli ma, anche in questo caso, la variazione nel prezzo dei due titoli non sarà identica. In particolare, vale la stessa relazione vista in precedenza, ossia la variazione nel prezzo del titolo A è inferiore alla variazione nel prezzo del titolo B. Ciò accade perché il valore finanziario del tempo influenza il prezzo del titolo: in valore attuale, due cedole pagate rispettivamente dopo sei mesi e dopo un anno, pesano di più di un’unica cedola pagata dopo un anno. Quindi, all’aumentare della frequenza di pagamento si riduce la sensibilità del prezzo del titolo alla variazione dei tassi di interesse, ossia si riduce la sua rischiosità. Il rischio di interesse, quindi, è funzione inversa della frequenza di pagamento dei flussi di cassa.

CED A (semestrale) = CED B (annuale)

DR+ D-PA ¹ D-PB

D-PA < D-PB

Rischio di interesse ® (-) frequenza dei flussi di cassa

Consideriamo adesso due titoli che differiscono solo per la scadenza: SCAD A < SCAD B.

All’aumentare dei tassi di interesse, avremo sempre una riduzione nel prezzo di entrambi i titoli, ma, nuovamente, la variazione dei prezzi non sarà la stessa: la variazione nel prezzo del titolo A è inferiore alla variazione nel prezzo del titolo B. Ciò significa che, all’aumentare della scadenza, aumenta la sensibilità del prezzo del titolo alla variazione dei tassi di interesse, ossia aumenta la sua rischiosità. Il rischio di interesse, quindi, è funzione diretta della scadenza.

SCAD A < SCAD B

DR+ D-PA ¹ D-PB

D-PA < D-PB

Rischio di interesse (+) scadenza

Purtroppo per gli investitori, però, i titoli in circolazione non sono mai “a parità di altre condizioni” (nei BTP, l’unico elemento che si mantiene costante è la frequenza dei flussi di cassa: sei mesi), perciò sarà difficile valutare quale effetto prevalga. Dobbiamo quindi costruire un indicatore sintetico, che ci consenta mettere insieme tutte queste variabili per calcolare l’effettiva volatilità del titolo. Tale indicatore è la duration, o durata finanziaria media del titolo. La duration è, in primo luogo, una misura di durata; solo con alcuni passaggi riusciremo a capire perché è anche una misura di rischio.

Partiamo dal concetto di duration come misura di durata finanziaria media: come accadeva per il TRES con il rendimento, la duration è l’unica misura di durata corretta per valutare i titoli obbligazionari. La duration è data dalla somma dei momenti t in cui si manifestano i flussi di cassa, che moltiplicano il valore attuale del flusso pagato in quei momenti t fratto la sommatoria dei valori attuali dei flussi di cassa, ossia il prezzo.

In pratica, la duration è la media dei tempi in cui si manifestano i flussi di cassa, ponderata per il valore attuale relativo di quella scadenza. La duration, quindi, ha scala basata sui t, e gli R a cui sconto devono essere coerenti con i t.

Vediamo anche che, non casualmente, l’unica misura di durata corretta è influenzata con lo stesso segno dalle caratteristiche del titolo viste in precedenza:

-          più alta è la cedola, più bassa è la duration;

-          più è alta la frequenza del pagamento, più è bassa la duration;

-          più è alta la scadenza, più la duration è alta.

Questo indicatore, quindi, si muove nelle direzioni indicate ragionando sul prezzo, e ciò ci avvicina al concetto di duration come indicatore di rischio.

Ricordando che il prezzo è funzione del rendimento, possiamo disegnare tale funzione sugli assi cartesiani: sarà una funzione inversa di tipo non lineare, ossia una curva convessa.

Se andiamo a calcolare la derivata prima della formula prezzo rendimento, alle attuali condizioni di tasso, otteniamo l’inclinazione (differenziale) della curva prezzo-rendimento, che prende il nome di duration modificata: DM = D / (1 + R0).

Risulta che la variazione percentuale nel prezzo di un titolo è approssimativamente pari a DM moltiplicato per la variazione di R: DP » – DM DR / P.

In questo modo, possiamo capire perché la duration, nella sua versione base o nella versione di duration modificata, è la misura di sensibilità, di rischio che stavamo cercando. Perciò, i titoli che hanno varia composizione tra cedola, frequenza di pagamento e scadenza sono confrontabili in termini di duration: più è alta la duration, più la curva prezzo-rendimento è inclinata, ossia una variazione dei tassi di interesse implica una più ampia variazione dei prezzi, e viceversa.

Nel caso di un titolo Coupon Bond (con cedola), la duration è sempre inferiore a n, ossia alla scadenza di calendario del titolo. Nel caso di un titolo Zero Coupon Bond (senza cedola), la duration sarà uguale a n, alla scadenza di calendario del titolo.

DCB < n – DZC = n

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