Gli eventi casuali

Si definisce evento casuale ogni realtà o accadimento (fisico o concettuale) incerto sia perché possibile ma relativo a una osservazione o esperimento non ancora realizzatosi, sia perché possibile ma relativo a una osservazione o esperimento realizzatisi ma di cui non si conosce il risultato, tali eventi spesso vengono definiti come eventi casuali propri. Altre definizioni:

• Evento casuale elementare: ogni possibile esito dell’esperimento. Es: lanciando un dado che esca un numero tra 1 e 6.
• Evento certo (W): l’evento che si presenta sempre qualunque sia l’esito dell’esperimento. Tale insieme viene anche chiamato spazio campionario in quanto è l’insieme di tutti i possibili esiti.
• Evento impossibile (Æ): l’evento che comunque non può presentarsi nella realizzazione dell’esperimento.
• Evento casuale proprio: sottoinsieme dello spazio campionario. Es: nel lancio del dado uscita dei numeri 1,3,5.
• Spazio degli eventi (B_W): collezione di tutti gli eventi possibili per un dato esperimento (lancio dado: esca da 1 a 6).

Il caso del dado

Il numero totale degli elementi contenuti nello spazio degli eventi relativo al lancio del dado è dato da tutti i possibili sottoinsiemi che si possono formare dall’insieme W, comprendendo l’insieme stesso e l’insieme vuoto. Essi sono:

   6 = 1 evento impossibile (Æ)  6 = 6 eventi casuali elementari

   6 = 15 possibili coppie di eventi casuali elementari: 6 = evento certo W

    2      (1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,4)(3,5)(3,6)(4,5)(4,6)(5,6)                              6

Formula: il numero totale degli eventi generabile da uno spazio campionario finito che contiene n elementi è 2ⁿ

Operazioni tra eventi casuali

1) Unione: si definisce evento unione tra due eventi A e B, e si indica con “AÈB”, l’evento che si realizza qualora si presenti indifferentemente uno degli eventi casuali elementari contenuti negli eventi A o B. L’unione gode delle seguenti proprietà:

• Commutativa: AÈ B º BÈA
• Associativa: A È (BÈC) º (A È B) È C º A È BÈ C
• Di idempotenza: A È A º A

2) Differenza: si definisce evento differenza, tra due eventi A e B, e si indica con “A-B”, l’evento che si realizza qualora si presenti l’evento A ma non l’evento B. La differenza gode delle seguenti proprietà:

• A – B = {1}
• A È B = (A – B) È B = A È (B – A)

3) Intersezione: si definisce intersezione tra due eventi A e B, e si indica con “AÇB”, l’evento che si realizza quando si presentano congiuntamente entrambi gli eventi componenti. L’intersezione gode delle proprietà:

• Commutativa: A Ç B = B Ç A
• Associativa: A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C = A Ç B Ç C
• Di idempotenza: A Ç A = A
• Inoltre: A – (BÇC) = (A-B) È (A-C)

4) Eventi incompatibili: due eventi A e B, si definiscono incompatibili quando manifestandosi l’uno non si presenta l’altro e viceversa. Naturalmente A È B = Æ

5) Eventi complementari: due eventi si definiscono complementari quando non presentandosi l’uno si presenta l’altro e viceversa. Pertanto due eventi complementari sono anche incompatibili ma non è necessariamente vero che due eventi incompatibili sono complementari. Il complementare dell’insieme A si indica con A e rappresenta l’insieme di tutti gli elementi che non appartengono ad A. Proprietà degli eventi complementari:

• A È B = W
• A Ç B = Æ
• A È A = W
• A = (A Ç B) È (A Ç B)
• 1° legge di De Morgan: AÈB=AÇB
• 2° legge di De Morgan: AÇB=AÈB

6) Partizione dell’insieme: la collezione di n eventi casuali, A₁,A₂….,A_n, rappresenta una partizione dell’evento certo se sono a due a due disgiunti e la loro unione è l’evento certo. Proprietà della partizione degli insiemi:

1. A_i Ç A_J = Æ

_n                                     i,j = 1,2,…,n           

1. U Ai = W

ⁱ⁼¹

7) Inclusione: un evento si dice incluso (contenuto) in A (B Ì A) quando al verificarsi di B si presenta sempre anche A ma non viceversa. Qualunque evento A è incluso nell’evento certo W, che viene pertanto definito inclusor maximun, e contiene l’evento impossibile Æ, che viene definito inclusus minimun, cioè:

1. ” A Ì W ® A È W = W

       A Ç W = A

1. A É W ® A È Æ = A

   A Ç Æ = Æ

1. Inoltre, se B Ì A, allora:
   1.                                                                i.      A È B = A
   2.                                                               ii.      A Ç B = B
   3.                                                             iii.      B É A (É = contiene)

8)    Alcune proprietà degli operatori:

1. Transitiva: se A = B e B = C allora A = C
2. Distributiva dell’intersezione rispetto all’unione: A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A È C)
3. Distributiva dell’unione rispetto all’intersezione: A È (BÇC) = (AÈB) Ç (AÈC)