L’algebra degli eventi

La coppia (Ω, BΩ) viene definita spazio probabilizzabile, in cui Ω = spazio campionario e BΩ = insieme di un numero finito di n elementi da ω1 a ωn. BΩ è una Algebra di Boole, cioè una classe che possiede le seguenti proprietà:

Ω € BΩ

A € BΩ => Ā € BΩ

A1, A2, …, AnBΩ => Uni=1 AiBΩ

Inoltre per la legge di De Morgan segue che: ∩ni=1 AiBΩ

Una estensione

Sia Ω un insieme infinito e numerabile, valgono le stesse proprietà di cui sopra, ma con n = ∞.

Una generalizzazione

Sia Ω un insieme infinito e non numerabile. È necessario restringere il campo con al più un’infinità numerabile di operazioni, ottenendo la classe di Borel, formata dalla famiglia monotona delle semirette:

R(x) = (-∞,x] con x € R

Ad ogni semiretta corrisponde, come controimmagine, l’elemento R–1(x) € BΩ

Il concetto di misura finita

Una misura finita m è caratterizzata dalle seguenti proprietà:

1)       È una funzione definita su un’algebra (σ-algebra) di insieme BΩ

2)       “A Ì BΩ => m(A) Ì R [0, ∞)

3)       m(0) = 0

4)       m (Ω) < a < ∞

5)       è completamente additiva. Ciò si verifica se, data una sequenza di eventi disgiunti Ai, m(Uni=1Ai) = ∑i=1m(Ai)

m(A|Ω) si definisce misura normalizzata di A su Ω.

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