La probabilità

Il concetto di probabilità: la probabilità, intesa come misura associata ad un evento casuale, è una proprietà fisica dell’evento stesso, altre considerazioni intendono la probabilità come grado di fiducia che un ricercatore, sulla base delle sue esperienze, nutre nel verificarsi dell’evento in questione, si sono sviluppati diversi filoni teorici:

  1. Concezione classica: se, per un determinato evento A, è possibile determinare il numero di casi favorevoli n(A) ed il numero di casi possibili n(Ω) realizzabili in quella prova, nell’ipotesi che siano tutti egualmente possibili si definisce probabilità dell’evento P(A) la quantità: P(A) = n(A) / n(Ω)
  2. Concezione statistica: si definisce probabilità statistica di un evento A la quantità, se esiste finita, P (A) = limn®¥ n(A)/n con n(A) il numero di casi in cui è stato osservato l’evento A ed n il totale di osservazioni.
  3. Concezione soggettiva: la probabilità di un evento è la misura del grado di fiducia che un determinato soggetto attribuisce al suo verificarsi.

Il calcolo delle probabilità, gli assiomi di Kolmogorov

Nota bene: A Ç B = Æ significa che i due insiemi sono disgiunti. Solo in questo caso si può dire che (A È B) = P(A) + P(B) e che (A Ç B) = P(A)*P(B). Attenzione a non sbagliare negli esercizi!

 

Sia BΩ un’algebra di insiemi:

1)       P (A) ³ 0 con A € BΩ

2)       P (Ω) = 1

3)       P (A È B) = P(A) + P(B) se A Ç B = Æ

La coppia di insiemi (Ω, BΩ) viene definita spazio probabilizzabile. Ad essa viene associata la funzione di probabilità P(×), giungendo a definire lo spazio di probabilità, (Ω, BΩ, P) in cui a ciascun evento A € BΩ viene associata la probabilità P(A). Per il terzo assioma possono essere elencate le seguenti relazioni:

  • P(Ω) = P(Æ) + P(Ω)
  • P(Ω) = P(A) + P(Ā)
  • P(A) = 1 – P(Ā)

Il terzo assioma può essere così generalizzato: P [Ui(Ai)] = åi P(Ai)½Ai Ω Aj = Æ  “i ¹ j = 1,2,…

La misura di probabilità

P(A) deve essere considerata una misura normalizzata di A su Ω, ottenendo così che ogni misura finita m può essere trasformata in misura di probabilità mediante la posizione P(A) = m(A½Ω) = m(A) / m(Ω)

La formula delle probabilità totali

Se A e B sono due eventi, l’evento unione è scomponibile nell’unione di eventi incompatibili:

A È B = (A – (A Ç B)) È (B – (B Ç A)) È (A Ç B) per il terzo assioma si ottiene la formula delle proprietà totali:

 P (A È B) = P (A) + P (B) – P(AÇB)

La probabilità condizionata:

es: lancio di due dadi, probabilizzare i seguenti accadimenti:

  1. Il risultato dell’esperimento è 8 (probabilità incondizionata)
  2. Il risultato dell’esperimento è 8 nel caso in cui il primo dado ha fornito un numero pari.

Soluzione caso a: i lanci favorevoli sono: P (A)= 5/36 = (2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2)

Soluzione b: i lanci favorevoli sono: 3 * 6 = 18 ® primo lancio pari * secondo lancio, i risultati favorevoli al risultato finale sono (2,6)(4,4)(6,2) cioè l’intersezione tra i due eventi A e B. Formalmente: P(A½B) = 3/18, perciò:

P (A Ç B½Ω) = m (A Ç B) / m(Ω)

P (B) = m(B) / m(Ω)

P (A½B) = P(A Ç B) / P(B); è la formula delle probabilità condizionate o quarto assioma del calcolo delle probabilità.

P (B½A) = P(A Ç B) / P(A)

P (A Ç B) = P(A) P(B½A) = P(B) P(A½B)

Eventi indipendenti (domanda da orale):

un evento A è indipendente da un evento B se P(A½B) = P(A), ovvero se le informazioni sull’evento B non alterano le probabilità associate all’evento A, se A e B sono indipendenti la loro intersezione è il prodotto delle probabilità:

P(A Ç B) = P(A) P(B)

Condizioni necessarie per l’indipendenza sono: A Ç B ¹ 0 , A – B ¹ 0, B – A ¹ 0, A Ë B, B Ë A. Generalizzando:

P[∩i(Ai)] = Õi P(Ai)½P(Ai ½Aj) = P(Ai)

Esempio   N (98*3)/(98*3+4*97)=

= 0,431 = 43,1%

Malato 98% 3%
Sano 4% 97%

 

Teorema di Bayes, è un approfondimento della definizione di probabilità condizionata dalle relazioni:

P(A Ç B) = P(A) P(B½A)

P(B) = P(A Ç B) + P(Ā Ç B) da cui si può dedurre:

P(A½B) = P(A Ç B)    P(A) P(B½A)     . =                           P(A) P(B½A)          .

       P(B)        P(A Ç B)+P(Ā Ç B)         P(A) P(B½A) + P(Ā)P(B½A)

Tale formula è definita formula di Bayes o legge delle probabilità delle cause, consente di calcolare la probabilità che il manifestarsi di un evento sia imputabile a una specifica fra le altre possibili cause, che sono tra loro incompatibili.

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